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Cálculo Diferencial e Integral I

SOBRE A DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

A disciplina de Cálculo I compõem a base dos estudos de técnicas matemáticas e as diversas Lei e Ferramentas que vão ajudar os alunos dos cursos de engenharia e tecnologia nas faculdades e universidades.

VAMOS DIRETO AO ASSUNTO….

O Cálculo Diferencial e Integral é um ramo da Matemática diferente dos outros que você aprendeu ate aqui, pois ele é dinâmico: estuda movimentos, variações, quantidades que mudam, tendendo a outras quantidades. As ideias principais que formam a base do Cálculo foram acontecendo através de vários séculos. Os primeiros passos foram dados pelos gregos antigos, que desenvolveram métodos de aproximação para o Cálculo  de áreas de regiões limitadas por curvas. Arquimedes (287 – 212 a.C.) determinou a área da região compreendida por uma parábola e uma reta somando as áreas de infinitos triângulos inscritos na região. Obteve o valor da soma infinita ao observar que, conforme n crescia, as somas (finitas) dos n primeiros termos se aproximavam de um valor limite. O problema da área de regiões limitadas por curvas é estudado no ramo do Cálculo chamado Cálculo Integral. No século XVII, o jurista francês Pierre de Fermat, que se dedicava ã Matemática nas horas vagas, foi um dos pioneiros no estudo de funções e criou um método de achar os valores máximo e mínimo de uma função procurando os pontos do gráfico nos quais a reta tangente é horizontal. Os ingleses Isaac Barrow, John Wallis, Isaac Newton e o alemão Gottfried Leibniz fizeram importantes contribuições ao estudo de Fermat ao estudarem o “problema da tangente”. Para se obter a equacão da reta tangente a um gráfico num certo ponto P, o difícil é encontrar a inclinação da reta. Como resolver o problema? A idéia (de Barrow) foi a de calcular a inclinação de uma reta que corta o gráfico em dois pontos P e Q. Depois, fazendo Q aproximar-se de P, a reta PQ, secante ao gráfico, aproxima-se da reta tangente ao gráfico em P. O valor da inclinação procurada é assim o limite dos valores das inclinações das secantes, quando Q se aproxima de P. O problema da tangente faz parte do que e chamado hoje de Cálculo Diferencial. Os dois ramos do Cálculo e seus problemas motivadores (o problema da área e o da tangente) parecem ser de natureza completamente diferente. Newton percebeu que, na verdade,
eles estao estreitamente relacionados. Isto você verá quando estudarmos o Teorema Fundamental do Cálculo.

O que há em comum nos dois ramos do Cálculo é a noção de limite: em cada caso acima descrito, o problema consiste em calcular uma certa quantidade fazendo aproximações por outras quantidades mais fáceis de serem calculadas.

Newton ajudou a desenvolver o Cálculo motivado pelo estudo do movimento dos planetas em torno do Sol. Com o passar do tempo, muitas outras descobertas aconteceram, novos problemas foram sendo resolvidos pelos mesmos métodos, e novas aplicações foram sendo percebidas. Hoje em dia, o Cálculo é usado para achar órbitas de satélites, estimar o crescimento populacional (de pessoas, de bactérias, ou de qualquer outro ser vivo), calcular a inflação (que mede a variação dos preços num certo período), e muitos outros problemas interessantes e úteis. Questões importantes de otimização são resolvidas com conhecimentos de Cálculo . Assim, o Cálculo  Diferencial e Integral é hoje considerado um instrumento indispensável de pensamento em quase todos os campos da ciência pura e aplicada: em Física, Química, Biologia, Astronomia, Engenharia, Economia e até mesmo em algumas Ciências Sociais, além de áreas da própria Matemática. Os métodos e as aplicações do Cálculo estão entre as maiores realizações intelectuais da civilização humana, uma conquista cultural e social, e não apenas científica.

 

OBJETIVO

Os objetos básicos de estudo em cálculo (na verdade, em toda a matemática) são as funções. Neste curso as funções deverão sera analisadas a partir de várias perspectivas: fórmulas, gráficos, dados numéricos e relações entre quantidades que aparecem nas aplicações. Da mesma maneira os três principais conceitos do cálculo (limites, derivadas e integrais) serão estudados a partir destas perspectivas. Estas diferentes maneiras são importantes para o perfeito entendimento tanto dos conceitos como nas aplicações.

Podemos também dizer que o cálculo é o estudo do efeito sobre as funções, por pequenas mudanças nas variáveis: podemos estudar o efeito de pequenas mudanças (cálculo diferencial) ou o efeito cumulativo de muitas pequenas mudanças (cálculo integral).Um resultado realmente extraordinário,denominadoTeorema Fundamental do Cálculo mostra que estas duas áreas do cálculo estão relacionadas.

Dentre os principais conteúdo de nossos estudos podemos destacar:

1. RETA REAL.
Propriedades dos números reais. Desigualdades. Módulo.

2. FUNÇÕES.
Conceito de função. Funções polinomiais, racionais, algebricas e transcendentes. Funções trigonométricas. Função área. Função logarítmo. Função exponencial. Funções hiperbólicas. Gráfico de funções.

3. LIMITES E FUNÇÕES CONTINUAS.
Noção Intuitiva de Limite. Definição de Limite. Propriedades. Limites Laterais. Funções Contínuas.

4. DERIVADA.
Tangentes. Velocidade. Taxas de Variação. Relação entre derivação e continuidade.

5. CÁLCULO DE DERIVADAS.
Derivada de polinômios. Regras de derivação: derivada da soma, do produto e do quociente de funções. Derivada das funções seno e cosseno. Derivada da função área. Derivada das funções logarítmo, exponencial e hiperbólicas. Funções compostas e regra da cadeia. Funções implícitas e expoentes fracionários. Funções inversas e suas derivadas. Derivadas de ordem superior.

6. APLICAÇÕES DE DERIVADAS.
Teorema do Valor Médio. Funções crescentes. Máximos e mínimos. Concavidade e pontos de inflexão. Aplicações de máximos e mínimos. Aplicações de máximos e mínimos. Taxas Relacionadas. Diferenciais e cálculo de erros. Formas indeterminadas e a regra de L’Hopital. Assíntotas. Esboço de gráficos de funções.

7. INTEGRAIS INDEFINIDAS.
Integração por substituição e integração por partes.

8. INTEGRAIS DEFINIDAS.
Áreas de regiões planas. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO. Propriedades das integrais. Volume de sólidos.

9. MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO.
Integração por partes. Integração por frações parciais. Substituições trigonométricas.

 

Conteúdo da Disciplina de Cálculo Diferencial Integral I

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